TRIÁNGULOS & CUADRILÁTEROS

TRIANGULO

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos 

El triángulo es un polígono de tres lados.

 Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Dato:Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC,ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro.

Triángulo: ABC. Lados: a, b, c. Ángulos: .

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño 
• Como triángulo isósceles si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. 
• Como triángulo escaleno si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo. Postulado LAL  (Lado, Ángulo, Lado): Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida . Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo): Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos). Postulado LLL (Lado, Lado, Lado): Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo. Nota:La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes: Datos del triangulo: La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado. El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo. Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó  radianes. CENTROS DEL TRIANGULO: Baricentro o Centroide: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto. Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos. Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas. Nota:El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero. Área de un triángulo El área de un triángulo es igual al semiproducto de la base por la altura. CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360º. Los componentes de un cuadrilátero son los siguientes: 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero. 4 lados: segmentos limitados por dos vértices contiguos. 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos. 4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común. 4 ángulos exteriores: prolongación de los lados. Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados: 1. Paralelogramos: sus lados opuestos son paralelos Cuadrado: es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y además sus cuatro ángulos son iguales y rectos, tiene 4 ejes de simetría, 4 vértices y 4 aristas. Rombo: es un cuadrilátero paralelogramo cuyos cuatro lados son de igual longitud.Los ángulos interiores opuestos son iguales.Sus diagonales son perpendiculares entre si y cada una divide a la otra en partes iguales. Rectángulo: es un paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados opuestos tienen la misma longitud. El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados. Romboide :paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo, es decir, un paralelogramo que tiene sus ángulos y sus lados iguales dos a dos .   2. Trapecios: dos lados paralelos; los otros dos, no Trapecio rectángulo:es el que tiene un lado perpendicular a sus bases. Trapecio isósceles:es el que tiene los lados no paralelos de igual medida.Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí. Trapecio escaleno:es el que no es isósceles ni rectángulo, la medida de sus lados da como resultado medidas diferentes.Sus cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas. 3. Trapezoide: lados no paralelos Trapezoide simétrico o deltoide:tiene la forma de una cometa (volantín), con dos pares de lados iguales. Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos de los vértices. Trapezoide asimétrico:Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos ni eje de simetría. Los cuadriláteros simples se dividen en: Cóncavos. En un cuadrilátero cóncavoal menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º. Convexos. Un cuadrilátero convexo no tiene ángulos interiores que midan más de 180º.  Cuadriláteros irregulares Un cuadrilátero que no encaja en ninguno de los tipos anteriores. Video: https://www.youtube.com/watch?v=4p6z93RIb9U http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=t5QjPbmy2E4 http://www.youtube.com/watch?v=fi9_hlYZSOk http://www.youtube.com/watch?v=CUzthyBwR9g presentaciones: http://www.slideshare.net/roxana14/cuadrilateros-roxana http://www.slideshare.net/Luioliv/triangulos-430872  CONCLUSIÓN: Me he dado cuenta que existen muchas figuras y las características de cada una no son los mismos, cada figura varia, tanto su formula, como la cantidad de vértices  de como trazarlas. Y también cada figura consiste en familias que derivan muchas otras figuras.

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. 

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Recuerda:Una ecuación de segundo grado es incompleta si alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes;a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

b² − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:


Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola.

 Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación 

Recuerda:Una ecuación de segundo grado es incompleta si alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.


Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 

1. Factorización Simple 

2. Completando el Cuadrado 

3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

  

Completando el Cuadrado :

En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. 

Formula Cuadratica

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: 
  

Para resolver una ecuación cuadrática con el método de factorización, seguiremos los siguientes pasos:

1. Escribir la ecuación en forma a x 2 + b x + c = 0 .
2. Factorizar. 
3. Haciendo uso de la propiedad del producto cero, igualar cada factor a cero y resolver para x.
4. Verificar la solución.

 La idea del método de completar al cuadrado es agregar una cantidad constante a una expresión para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto.
Pasos para resolver las ecuaciones cuadráticas completando al cuadrado. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

1. Dejar los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la ecuación y llevar el término independiente al lado derecho de la ecuación.
2. Si la variable x 2 tiene un coeficiente diferente de 1, dividir cada término de la ecuación por dicho coeficiente.
3. Completar al cuadrado, teniendo en cuenta que se debe sumar la misma cantidad a ambos lados de la ecuación.
4. Resolver la ecuación, teniendo en cuenta que si ( x - b 2 ) 2 = entonces x - b 2 = ± C .

NOTA:recordemos que para preservar el balance de una ecuación, si agregamos o restamos una cantidad determinada a un lado de la ecuación, debemos agregar o restar la misma cantidad al otro lado de la ecuación

VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=jsT6Oy5CooQ
http://www.youtube.com/watch?v=sHaVfyCokPM

PRESENTACION:
http://www.slideshare.net/gonzy/solucion-de-la-ecuacion-cuadratica

conclusión personal: Para mi al inicio del tema se me complico, no entendía como se sacaba el resultado, como hacer el procedimiento. Fueron explicándome, y ponía mas atención y te das cuenta que el procedimiento es fácil.